Tillbaka till Hans Lundmarks startsida


Exempel på linjära avbildningar i planet

Skjuvning

Vi värmer upp med lite lätt stretching (av Brian Edgar). Avbildningsmatrisen är

     [ 1  1/2 ]
A =  [        ] .
     [ 0   1  ]

Brian   →   Transformerad Brian

Standardbasvektorerna

[ 1 ]   [ 0 ]
[   ] , [   ]
[ 0 ]   [ 1 ]

är markerade med blått resp. rött i den första bilden.

Matrisens kolonner

[ 1 ]   [ 1/2 ]
[   ] , [     ]
[ 0 ]   [  1  ]

anger basvektorernas bilder. (Blått resp. rött i den andra bilden.)

Dessa bestämmer i sin tur hela avbildningen på grund av lineariteten, vilket illustreras av rutnäten. Rutorna har samma area i båda rutnäten, vilket stämmer med att determinanten (avbildningens areaskala) är 1.

Symmetrisk avbildning

Nu är det Arne Enqvists tur. Vi utsätter honom för en symmetrisk avbildning:

     [  1   1/2 ]
A =  [          ] .
     [ 1/2   1  ]

Determinanten är 3/4, så rutornas (och Arnes) area minskar lite.

Arne   →   Transformerad Arne

Det ska finnas en ON-bas av egenvektorer enligt spektralsatsen, eftersom avbildningen är symmetrisk. Mycket riktigt: med den vanliga beräkningen (eller med kvalificerad gissning) finner vi

[  1   1/2 ] [ 1 ]     3 [ 1 ]
[          ] [   ]  =  - [   ] ,
[ 1/2   1  ] [ 1 ]     2 [ 1 ]

[  1   1/2 ] [ -1 ]     1 [ -1 ]
[          ] [    ]  =  - [    ] .
[ 1/2   1  ] [  1 ]     2 [  1 ]

Normerade egenvektorer är alltså

   1    [ 1 ]      1    [ -1 ]
------- [   ] , ------- [    ]
sqrt(2) [ 1 ]   sqrt(2) [  1 ]

vilka vi tar som nya basvektorer. Vi tittar på samma avbildning igen, men i koordinatsystemet som ges av denna nya bas. Luta huvudet 45 grader åt vänster, och försök att glömma det gamla koordinatsystemet helt och hållet!

Arne   →   Transformerad Arne

Nu ser man tydligt varför areaskalan är 3/4: avbildningen sträcker (3/2) i en riktning och trycker ihop (1/2) i den ortogonala riktningen. Den första (blå) egenvektorn, som nu – kom ihåg vi har bytt koordinatsystem! – har koordinaterna

[ 1 ]
[   ] ,
[ 0 ]

avbildas på

[ 3/2 ]
[     ] ,
[  0  ]

medan den röda avbildas på

[  0  ]
[     ] .
[ 1/2 ]

Detta ger oss kolonnerna i den nya avbildningsmatrisen D (som beskriver samma avbildning, fast i det nya koordinatsystemet):

     [ 3/2   0  ]
D =  [          ] .
     [  0   1/2 ]

Matrisen blir alltså helt enkelt diagonal, med egenvärdena på diagonalen. Determinanten är produkten av egenvärdena. "Byt bas och se bättre!", som Peter Hackmans berömda sång säger.

Spegling i en linje

Thomas Karlsson vill nog också vara med. En spegling får det bli för hans del:

     [  5/13   12/13 ]
A =  [               ] .
     [ 12/13   -5/13 ]

Till skillnad från de tidigare exemplen så är determinanten här negativ (−1 för att vara exakt), så orienteringen ändras. Mycket riktigt så är Thomas spegelvänd i den andra bilden, vilket du ser om du vrider på huvudet och tittar efter.

Thomas   →   Transformerad Thomas

Övning 1: Var är speglingslinjen?

Övning 2: Den här avbildningen är också symmetrisk. Hitta en ON-bas av egenvektorer. Vad blir avbildningsmatrisen i denna nya bas?

GIMP-logo


Ursprunglig version 2000-10-08. Senast ändrad 2015-05-28. Hans Lundmark (hans.lundmark@liu.se)