Göm meny

Hans Lundmarks material från TATA69 Flervariabelanalys (för M, DPU, EMM)

Denna sida är ett arkiv för saker som jag (Hans) producerade när jag var kursansvarig för TATA69. De används inte i kursen längre, men kan kanske komma till användning för någon ändå.

Dokument

Höstterminen ht2022 var sista gången som jag höll i kursen TATA69. Här är kursdokumenten från den gången:

Diverse andra dokument:

Videor

Nedan återfinns det videomaterial som jag gjorde till TATA69 som komplement till de många videor som Tomas Sjödin redan spelat in tidigare. En del av detta är repetition av linjär algebra (med fokus på sådant som behövs här i TATA69), annat är ren flervariabelanalys (mer djupgående teori, extra exempel).

Innehållsförteckning:

Punkter, vektorer, baser, koordinatsystem (samt exempel på variabelbyte i dubbelintegral)

Denna video börjar från grunden, och tar upp några mycket basala geometriska begrepp. Jag filosoferar en del – kanske lite mer än vad man brukar i linjär algebra-kurser – över skillnaden mellan vektorer och punkter, och vilka operationer med dessa som egentligen är geometriskt meningsfulla (t.ex. varför det är geometriskt meningslöst att addera ortsvektorerna för två punkter).

Exemplen om dubbelintegraler börjar vid 34:04, ifall du vill hoppa dit direkt. Där förklaras två olika sätt att tänka för att införa ett nytt koordinatsystem som gör att en från början "sned" parallellogram (eller triangel) istället kommer att ligga parallellt med koordinataxlarna.

Presentation [pdf].

Några små (och ganska uppenbara) felsägningar: 4:56 "Vektorer kan faktiskt se likadana ut" ska vara "Vektorer kan faktiskt se olika ut". 6:35 "Har man två punkter P" ska vara "Har man två punkter P och Q". 30:57 och 31:02 "fyra" ska vara "minus fyra". 37:38 "f:s koordinater" ska vara "f1:s koordinater"

Linjära och affina avbildningar (mest repetition)

Se gärna repetitionsvideon om punkter och vektorer först.

På slutet av denna video (från 54:42) kommer lite om olinjära avbildningar och affin approximation av sådana, där begreppen funktionalmatris och lokal areaskala tas upp (samt lite om inversa funktionssatsen).

Presentation [pdf].

Felsägning: 43:46 "Och då säger vi att bilden av den punkten är bilden av den punkten också".

Felskrivning: 52:00, sid. 30: Formeln "eX = fY = eTX" är fel. Det sista X:et ska vara ett Y, alltså såhär: "eX = fY = eTY".

Kvadratiska former (mest repetition)

Denna video innehåller förhoppningsvis svaret på alla frågor om kvadratiska former som kan tänkas dyka upp här i TATA69. Ganska mycket tid ägnas åt att förklara kvadratiska former från grunden: nivåmängder, graf, diagonalisering, max/min av Q(x) då |x|=1, samt teckenkaraktär ("positivt definit" etc.), ett viktigt begrepp som tyvärr bara brukar tas upp i förbigående i TATA 67, linjär algebra-kursen för M/DPU/EMM.

Systematisk kvadratkomplettering för att bestämma teckenkaraktären (vilket ju brukar användas i uppgifter om lokala max-/min-punkter) illustreras först i ett exempel med två variabler (23:02) och förklaras sedan grundligare med tre variabler på slutet (45:53).

Varning! Det kan hända att du i andra källor stöter på metoder för att bestämma teckenkaraktären utgående från hessianen (den symmetriska matrisen med alla andraderivatorna), t.ex. Sylvesters kriterium för en kvadratisk form i två variabler: "om (1,1)-elementet och determinanten är positiva så blir Q positivt definit". Jag har medvetet inte tagit upp detta i videon, och jag rekommenderar starkt att du inte använder sådana kriterier. De ger väldigt lite insikt i varför saker blir som de blir, och det är därför mycket lätt hänt att man minns dem fel, eller att missförstånd uppstår, t.ex. att man försöker tillämpa ovanstående regel på former i tre eller fler variabler (vilket inte funkar, Sylvesters kriterium ser annorlunda ut i det fallet!), eller att man tror att "om (1,1)-elementet och determinanten är negativa så blir Q negativt definit" (vilket är falskt!). Använd kvadratkomplettering istället, så ser du ju varför det blir som det blir!

Presentation [pdf].

Några smärre felsägningar: 3:07 "Alla tre termerna" ska vara "alla tre faktorerna". 14:54–58 "x-axeln" ska vara "y-axeln" och tvärtom. 19:43 "Plus eller minus C" ska vara "Plus eller minus roten ur C". 29:24 "u1 och u2" ska vara "u2 och v2". 35:53 "[närmevärde med] 3 decimaler" ska vara "4 decimaler".

Samt en felskrivning, på sista sidan (59:59): "Fhk" ska såklart vara "Fkl".

Dubbelintegral: tolkning, uppskattning, rimlighetskontroll, symmetri, falluppdelning

Här är en video fullspäckad med saker som är bra att veta om dubbelintegraler!

Presentation [pdf].

Implicita funktionssatsen

Denna långa video ger en grundlig genomgång av implicita funktionssatsen, med betydligt mer information än i Tomas Sjödins föreläsningar/kompendier/videor. Jag brukade alltid känna att föreläsningstiden inte räckte till för att säga allt som skulle behöva sägas om implicita funktionssatsen för att den skulle bli begriplig, och detta är mitt försök att åtgärda saken.

Presentation [pdf].

Stora delar av denna video innehåller material som är tänkt att vara användbart för alla som läser kursen, men några avsnitt riktar sig till den som är mera teoriintresserad. Här är en liten innehållsförteckning för att underlätta navigeringen, ifall du vill hoppa över de tyngre avsnitten:

  • 00:00 Introduktion och några exempel för att illustrera vad som menas med att en funktion är "explicit definierad" respektive "implicit definierad".
  • 14:05 Nivåmängder kan se ut hur som helst!
  • 16:13 Men under vissa enkla förutsättningar, som har med implicita funktionssatsen att göra, måste nivåmängder till en tvåvariabelfunktion vara nivåkurvor. Och gradienten i en punkt är vinkelrät mot nivåkurvan genom den punkten.
  • 21:44 Formulering av implicita funktionssatsen för F(x,y)=C (fallet med två variabler och en ekvation).
  • 24:52 Bevisskiss. Första delen är inte så svår, men du kan skippa hela om det inte intresserar dig.
  • 29:50 Andra delen av beviset. Betydligt svårare än första delen, så detta vill antagligen de flesta hoppa över.
  • 37:02 Diverse anmärkningar. Detta bör vara av intresse för alla igen!
  • 48:52 Ett konkret exempel.
  • 58:26 Hur man visar att den implicita funktionen från Exempel 2 är snäll.
  • 01:00:54 Implicita funktionssatsen med fler än två variabler (men fortfarande bara en ekvation).
  • 01:01:40 Speciellt fallet med tre variabler: F(x,y,z)=C.
  • 01:06:45 Implicita funktionssatsen med flera ekvationer (underbestämda ekvationssystem).
  • 01:09:04 Fallet med två ekvationer och tre variabler: F(x,y,z)=C, G(x,y,z)=D.
  • 01:10:30 Bevisidé och bevis. Kan hoppas över.
  • 01:16:22 Ett bevis till, med hjälp av inversa funktionssatsen. Kan också hoppas över.
  • 01:20:40 Geometrisk tolking: kryssprodukt av gradienter.
  • 01:23:30 Den allmänna versionen av implicita funktionssatsen (n ekvationer och n+k variabler). Kan hoppas över.
  • 01:28:02 En sista varning: villkoren i implicita funktionssatsen är tillräckliga men inte nödvändiga. (Felsägning vid 01:31:46: "samma definitionsmängd" ska vara "samma lösningsmängd".)

Exempel 1 från Fö 14 i kursprogrammet

Kursprogram för M/DPU/EMM ht 2022. (Exemplet börjar på s. 56.)

Rättelse: 15:27 "I grova drag så är det såhär som D-tilde såg ut" är inte riktigt rätt, för D-tilde är ju bara den del av ellipsskivan som ligger i andra kvadranten där x ≤ 0 och y ≥ 0 (se korrekt figur i kursprogrammet).

Exempel 2 från Fö 14 i kursprogrammet

Kursprogram för M/DPU/EMM ht 2022. (Exemplet börjar på s. 58.)

Exempel 3 från Fö 14 i kursprogrammet (och uppgift 6.9c från problemsamlingen)

Kursprogram för M/DPU/EMM ht 2022. (Exemplet börjar på s. 60.)

Flervariabelanalys Problemsamling (December 2013). (Problem 6.9c är på s. 18.)

Rättelser: 2:17 Borde stå x2+y2+z2≤1 ("mindre än eller lika med", inte "lika med"). 5:30 Felskrivning: "dρ" och "dφ" ska byta plats (såklart). 12:28 Felsägning och felskrivning: "Om man bryter ut u där får man roten ur 1−v2" ska vara "Om man bryter ut v där får man roten ur 1−u2" (korrigerat i videon vid 12:47). 30:29 Felsägning (och otydligt skrivet): "w-planet" ska vara "vw-planet". 32:44 Felsägning: "[sätter man in den övre gränsen så blir det] ett" ska vara "[...] noll".

Trippelintegral, hantering av "avhugget" område med skivor eller stavar

Tenta TATA09 (gammal kurs) 2004-04-22, uppgift 6 (volymsuträkning på två olika sätt: tvärsnitt för fixt x, stavar i z-led)

Tenta och lösningar.

Rättelser: 3:49 "tittar från x-axeln": i videon råkade figuren visas sedd från y-axeln, men pga. symmetrin ser ju detta likadant ut som om man tittat från x-axeln. 5:10 Felsägning, "z=sqrt(x2-y2)" ska vara "z=sqrt(1-x2-y2)". 18:38 "det här dividerar vi ner" borde ha rättfärdigats genom att påpeka att faktorn 1+x2 (som vi dividerar olikheten med) är positiv.

Tenta TATA69 2020-06-03, uppgift 5 (generaliserad trippelintegral uträknad på tre olika sätt: stavar i z-led, tvärsnitt för fixt z, rymdpolära koordinater)

Tenta och lösningar.

Externa länkar

På nätet kan man såklart också hitta en hel del ytterligare material om flervariabelanalys. Här är några bra källor på YouTube:


Sidansvarig: Hans Lundmark
Senast uppdaterad: 2024-10-28