Göm meny

Hans Lundmarks videor m.m. till TATA69 Flervariabelanalys (M, DPU, EMM)

Här är kursprogrammet samt kompletterande uppgifter för ht2022, sista gången jag (Hans Lundmark) hade kursen TATA69.

Och nedan återfinns det videomaterial som jag gjorde till TATA69 som komplettering till de många videor som Tomas Sjödin spelat in. Dessa videor används inte längre i kursen, så jag har lagt dem här, ifall det är någon som är intresserad.

Punkter, vektorer, baser, koordinatsystem (samt exempel på variabelbyte i dubbelintegral)

Presentation.

Några små (och ganska uppenbara) felsägningar: 4:56 "Vektorer kan faktiskt se likadana ut" ska vara "Vektorer kan faktiskt se olika ut". 6:35 "Har man två punkter P" ska vara "Har man två punkter P och Q". 30:57 och 31:02 "fyra" ska vara "minus fyra". 37:38 "f:s koordinater" ska vara "f1:s koordinater"

Linjära och affina avbildningar (mest repetition)

Se gärna repetitionsvideon om punkter och vektorer först.

Presentation.

Felsägning: 43:46 "Och då säger vi att bilden av den punkten är bilden av den punkten också".

Felskrivning: 52:00, sid. 30: Formeln "eX = fY = eTX" är fel. Det sista X:et ska vara ett Y, alltså såhär: "eX = fY = eTY".

Kvadratiska former (mest repetition)

Presentation.

Några felsägningar: 3:07 "Alla tre termerna" ska vara "alla tre faktorerna". 14:54-58 "x-axeln" ska vara "y-axeln" och tvärtom. 19:43 "Plus eller minus C" ska vara "Plus eller minus roten ur C". 29:24 "u1 och u2" ska vara "u2 och v2".

Dubbelintegral: tolkning, uppskattning, rimlighetskontroll, symmetri, falluppdelning

Presentation.

Hans Lundmark: Implicita funktionssatsen

Presentation.

Denna video är en betydligt grundligare genomgång av implicita funktionssatsen än den video som Tomas Sjödin har gjort.

Stora delar av denna video innehåller material som är tänkt att vara användbart för alla som läser kursen, men några avsnitt riktar sig till den som är mera teoriintresserad. Här är en liten innehållsförteckning för att underlätta ifall du eventuellt vill hoppa över de tyngre avsnitten:

  • 00:00 Introduktion och några exempel för att illustrera vad som menas med att en funktion är "explicit definierad" respektive "implicit definierad".
  • 14:05 Nivåmängder kan se ut hur som helst!
  • 16:13 Men under vissa enkla förutsättningar, som har med implicita funktionssatsen att göra, måste nivåmängder till en tvåvariabelfunktion vara nivåkurvor. Och gradienten i en punkt är vinkelrät mot nivåkurvan genom den punkten.
  • 21:44 Formulering av implicita funktionssatsen för F(x,y)=C.
  • 24:52 Bevisskiss. Första delen är inte så svår, men du kan skippa hela om det inte intresserar dig.
  • 29:50 Andra delen av beviset. Betydligt svårare än första delen, så detta vill antagligen de flesta hoppa över.
  • 37:02 Diverse anmärkningar. Detta bör vara av intresse för alla igen!
  • 48:52 Ett konkret exempel.
  • 58:26 Hur man visar att den implicita funktionen från Exempel 2 är snäll.
  • 01:00:54 Implicita funktionssatsen med fler än två variabler.
  • 01:01:40 Speciellt fallet med tre variabler: F(x,y,z)=C.
  • 01:06:45 Implicita funktionssatsen med flera ekvationer (underbestämda ekvationssystem).
  • 01:09:04 Fallet med två ekvationer och tre obekanta: F(x,y,z)=C, G(x,y,z)=D.
  • 01:10:30 Bevisidé och bevis. Kan hoppas över.
  • 01:16:22 Ett bevis till, med hjälp av inversa funktionssatsen. Kan också hoppas över.
  • 01:20:40 Geometrisk tolking: kryssprodukt av gradienter.
  • 01:23:30 Den allmänna versionen av implicita funktionssatsen (n ekvationer och n+k obekanta). Kan hoppas över.
  • 01:28:02 En sista varning: villkoren i implicita funktionssatsen är tillräckliga men inte nödvändiga. (Felsägning vid 01:31:46: "samma definitionsmängd" ska vara "samma lösningsmängd".)

Exempel 1 från Fö 14 i kursprogrammet

Kursprogram för M/DPU/EMM ht 2020. (Exemplet börjar på s. 51.)‌

Rättelse: 15:27 "I grova drag är det såhär som D-tilde såg ut" är inte riktigt rätt, D-tilde är ju bara den del av ellipsskivan som ligger i andra kvadranten där x ≤ 0 och y ≥ 0 (se korrekt figur i kursprogrammet).

Exempel 2 från Fö 14 i kursprogrammet

Kursprogram för M/DPU/EMM ht 2020. (Exemplet börjar på s. 53.)‌

Exempel 3 från Fö 14 i kursprogrammet (och uppgift 6.9c från problemsamlingen)

Kursprogram för M/DPU/EMM ht 2020. (Exemplet börjar på s. 55.)‌

Rättelser: 2:17 Borde stå x2+y2+z2≤1 ("mindre än eller lika med", inte "lika med"). 30:29 Felsägning (och otydligt skrivet): "w-planet" ska vara "vw-planet". 32:44 Felsägning: "[sätter man in den övre gränsen så blir det] ett" ska vara "[...] noll".

Trippelintegral, hantering av "avhugget" område med skivor eller stavar

Tenta TATA09 (gammal kurs) 2004-04-22, uppgift 6 (volymsuträkning på två olika sätt: tvärsnitt för fixt x, stavar i z-led)

Tenta och lösningar.

Rättelser: 3:49 "tittar från x-axeln": i videon råkade figuren visas sedd från y-axeln, men pga. symmetrin ser ju detta likadant ut som om man tittat från x-axeln. 5:10 Felsägning, "z=sqrt(x2-y2)" ska vara "z=sqrt(1-x2-y2)". 18:38 "det här dividerar vi ner" borde ha rättfärdigats genom att påpeka att faktorn 1+x2 (som vi dividerar olikheten med) är positiv.

Tenta TATA69 2020-06-03, uppgift 5 (generaliserad trippelintegral uträknad på tre olika sätt: stavar i z-led, tvärsnitt för fixt z, rymdpolära koordinater)

Tenta och lösningar.

Externa länkar

På nätet kan man såklart också hitta en hel del ytterligare material om flervariabelanalys. Här är några bra källor på YouTube:


Sidansvarig: Hans Lundmark
Senast uppdaterad: 2023-09-01